O Número de Graham

Já ouviu falar do Número de Graham?

Você sabe, os números são infinitos, certo? Você pode ficar contando sua vida toda, e você vai morrer e não vai contar tudo, porque simplesmente a contagem não acaba. Assim, milhões, bilhões, trilhões, quatrilhões, sextilhões… São números cada vez maiores e tão monstruosos que chega um momento que nosso cérebro não consegue mais concebê-los porque nem faz sentido isso.

Então por que diabos eu vou falar de um numero chamado Número de Graham? Porque esse é Gump  demais, meufí!

Conforme nos conta a Wikipedia, o Número de Graham, tem este nome em homenagem a Ronald Graham. E é um numero graaaande. Muito grande. Pensa num numero grande, multiplica ele pelo dobro depois pelo quadruplo do que vc conseguir pensar. O numero de Graham deixa isso aí no chinelo, veio!

O numero de Graham é tão monstruosamente horrendo de gigante que foi considerado o limite superior sobre a solução para um determinado problema na teoria de Ramsey.

O número ganhou um grau de atenção popular quando Martin Gardner o descreveu na seção “Mathematical Games” da Scientific American em Novembro de 1977, escrevendo que “Em uma prova inédita, Graham criou recentemente […] um número tão grande que ele detém o recorde de maior número já usado em uma prova de Matemática.”

Assim, na edição de 1980, o  Guiness Book of World Records repetiu a afirmação de Gardner, acrescentando mais interesse popular neste número.

O Numero de Graham em perspectiva

O número de Graham é inimaginavelmente maior do que os outros já conhecidos números cabulosos, como o Googol (sim, que dá o nome ao site de busca) , ao Googolplex (que dá o nome à sede do Google) , e ainda maior do que o Número de Skewes e até ao Número de Moser!

Na verdade, se cada numero correspondesse a uma unidade de volume de Plank*,  o Universo observável seria PEQUENO para conter uma representação ordinária do número de Graham.

*1 quilograma = 45940892,447777 massa de Planck. A unidade de massa de Plank é uma bostinha tão pequena, que você poderia colocar 100 quintilhões delas dentro de um único próton!
(isso)

Então estamos falando de um numero tão estupendo, meu chapa, que NÃO CABE NO UNIVERSO!

O Numero de Graham é tão grande que não cabe no UNIVERSO

É grande como meu saco de procurar maluquice para este bog, mas você pode se perguntar: “O que diabos pode ter depois do sensacional Numero de Graham”? Claro, se você chutou “mais números ainda mais estupendos”, acertou.

O numero de graham, bem como os outros super números surgem porque você simplesmente não conseguiria tempo de vida para escrever o numero de zeros desses números. Assim, eles passam a ser representados por potências, que são abstrações pelo qual conseguimos lidar com volumes colossais.
Mas vamos por partes. Vamos devagar que você vai entender qual é o tamanho dessa monstruosidade numérica.

Vamos pegar as potências e ver o que elas significam mais ou menos?

10 ⁶ (1 milhão – 1.000.000) – Isso equivale a quantidade de pixel de uma imagem de  cerca de 18 cm x 450 cm = 0,81 m ² de área. Pixel bragarai, mas isso é NADA. Confie em mim! Vai seguindo aí, doido:

10 ⁷ (10 milhões) – Isso nos leva a um intervalo que inclui o número de passos necessários para dar a volta na Terra (40 milhões de passos).  Duvida? Sai andando.

10 ⁸ (100 milhões) – Agora estamos no número de livros já publicados na história da humanidade (130 milhões), e no topo dessa faixa, o número estimado de palavras que um ser humano fala em uma vida (860 milhões) incluindo a mãe de uma amiga minha, maluco!

Também nesta faixa estão as chances de ganhar as grandes loterias. Para colocar essas chances em perspectiva, esse é o número de segundos em seis anos. Então, é como saber que um anão perneta de São Gonçalo vai espirrar uma vez e apenas uma vez nos próximos seis anos e colocar seu suado dinheirinho como aposta em um determinado SEGUNDO – digamos, o segundo 36 de 2:52 em 19 de março de 2017 – e só ganhar se o miserento do anão perneta de São Gonçalo espirrar naquela merda de segundo! E tem nego que aposta todo dia, hahahaha. Trouxas!

10 ⁹ (1 bilhão 1 – 1.000.000.000) – Esqueça o anão perneta com resfriado que agora a porra começou a ficar séria, doido! Aqui temos o número de segundos em um século (cerca de 3 bilhões), o número de seres humanos vivos (7.125 bilhões) e aí você pensa que cada pessoa solta em media de dois litros de peido ao dia…

10 ¹⁰ (10 bilhões) – Passamos a nuvem piroclástica fecal e chegamos nos anos desde o Big Bang (13,7 bilhões) e o número de segundos desde que Jesus Cristo esteve por aí  (pra quem acredita, lógico – 60 bilhões).

10 ¹¹ (100 bilhões) – Trata-se do número de estrelas na Via Láctea e do número de galáxias no universo observável (100-400 bilhões) – assim, se um computador do Chuck Norris listasse uma galáxia observável a cada mísero segundo desde Cristo, ainda não seria possível nem chegar perto do numero que dá.

10 ¹² (1 trilhão – 1.000.000.000.000) – Um milhão de milhões. isso significa, pegar todos os seres humanos que já existiram e somar os SEGUNDOS de vida deles. Um trilhão é tão grande que você só precisa de 4 trilhões de milímetros de fita para amarrar um laço ao redor do sol.

10 ¹³ (10 trilhões) – Isso é o máximo que podemos entender de números econômicos. Geralmente são PIB de países como Estados Unidos…  Nessa escala, se dão as estimativas de células totais que formam uma pessoa. Em média 37 trilhões.

10 ¹⁴ (100 trilhões) – 100 trilhões é mais ou menos igual ao número de letras em todos os livros publicados na história humana. Mas nojento mesmo, é pensar que isso equivale também ao numero de BACTÉRIAS  aí no seu corpo.  Também nesta faixa está a riqueza total do mundo, estimada em US $ 241 trilhões.

10 ¹⁵ (1 quadrilhão) – Serio, você conhece alguém que use quadrilhão sem ser falando de amigos políticos do Brasil? Não, né?  Ninguém diz quatrilhão. Não é legal dizer a palavra quadrilhão. A maioria das pessoas opta por “um milhão de bilhões”. De qualquer maneira, há cerca de um quadrilhão de formigas na Terra . Comparando isso com o fato das bactérias, é como se você tivesse 1/10 das formigas do mundo rastejando bem agra por dentro do seu corpo.

Números absurdamente grandes 

Esses números parecem grandes? Não são nada! Olha só agora:

10 ¹⁶ (10 quatrilhões) – É nessa faixa que chegamos ao número de cartas de baralho necessárias cobrir toda a Terra (89 quatrilhões).

10 ¹⁷ (100 quatrilhões) – Este é mais ou menos o número de segundos que se passaram desde o Big Bang.

10 ¹⁸ (1 quintilhão) – Também conhecido como um bilhão de bilhões, a palavra quintilhão consegue ser ainda menos legal que um quatrilhão. Ninguém que tenha habilidades sociais diz a palavra quintilhão a menos que queria impressionar uma garota nerd.

De qualquer forma, o quintilhão é o número de metros cúbicos de água em todos os oceanos da Terra e o número de átomos em um patético grão de sal (1,2 quintilhões) Ou ainda, é mais ou menos o  número de grãos de areia em cada praia na Terra (7,5 quintilhões) que por sua vez, é  o mesmo número de átomos em seis grãos de sal. Decorou? Então agora decore esta merda pra falar pra mina nerd.

10 ¹⁹ (10 quintilhões) – O número de milímetros daqui até a estrela mais próxima (38 quintilhões de milímetros).

10 ²⁰ (100 quintilhões) – O número de metros que você percorreria para cruzar toda a Via Láctea.

10 ²¹ (1 sextilhões) – Agora estamos além do vocabulário dos esquisitos.

10 ²³ (100 sextilhões) – Uma estimativa grosseira para o número de estrelas no universo conhecido. É mais ou menos tipo o número de átomos de hidrogênio em um grama de hidrogênio.

10 ²⁴ (1 septilhão) – Um trilhão de trilhões. A Terra pesa cerca de seis septilhões de quilos.

10 ²⁵ (10 septilhões) – É o número de gotas de água em todos os oceanos do mundo.

10 ²⁷ (1 octillhão) – Se a Terra fosse oca, você teria que colocar 1 octilhão de ervilhas para encher o planeta.

Ok, agora vamos dar um enorme salto para a frente. Chegaremos numa escala Gump em que o volume da Terra é muito pequeno e o Big Bang é muito recente para ser usado em exemplos. Nessa nova área sobra apenas o universo observável – uma esfera de 92 bilhões de anos-luz para podermos exemplificar a magnitude com a qual estamos lidando.

10 ⁸⁰ – Para chegar a 10 ⁸⁰ , você pega trilhões e multiplica por um trilhão, por um trilhão, por um trilhão, por um trilhão, por um trilhão, e então por cem milhões. Esta é uma estimativa comum para o número de átomos no universo.

10 ⁸⁶ – E se você quisesse empacotar o UNIVERSO e encher o pacote com ERVILHAS, você precisaria de 10 ⁸⁶ ervilhas para fazer isso!

10 ⁹⁰ – Isto é um numero que equivale mais ou menos a mesma coisa de cima, sendo que em vez de ervilhas, vamos usar areia com grãos de (0,5 mm de diâmetro) pra encher o fucking UNIVERSO!

Números escalafobeticamente grandes!

Acabou a brincadeira. Agora começa a trozoba numérica! 

Um Googol – 10 ¹⁰⁰

O nome googol surgiu quando o matemático norte-americano Edward Kasner pediu a seu sobrinho de 9 anos, Milton, que criasse um nome legal para 10 ^{100 –}  ou seja, um 1 com 100 zeros depois dele. Milton sugeriu “googol”. Kasner aparentemente decidiu que essa era uma resposta legal e foi isso. Uma criança de 9 anos moldou o futuro nesse dia.  Mas então, qual é o tamanho do googol?

É o número de grãos de areia que poderiam caber no universo, multiplicadas por 10 bilhões de vezes! Só isso.

Mas ainda podemos ir mais longe…

10 ¹¹³ – É o número de átomos de hidrogênio necessários para encher o universo com eles.

10 ¹²² – O número de prótons que você poderia encaixar no universo.

10 ¹⁸⁵ – De volta ao volume de Planck (o menor volume lembra?). Você precisaria de 10 ¹⁸⁵ pra encher o universo.

Sem poder ir além desse colosso mental, pq não sabemos o que tem depois do Universo, atingimos o maior número em que o mundo físico pode ser usado para representação. E aqui chegamos no googolplex.

Não há nenhuma maneira possível de enrolar a cabeça em torno desse número – o melhor que podemos fazer é tentar entender quanto tempo levaria para escrever o número.  Como já discutimos, enchendo o universo com areia, você ganha apenas um bilionésimo do caminho para um googol, então o que teríamos a fazer é encher o universo até a borda com areia, pegar uma caneta minúscula e escrever 10 bilhões de zeros em cada grão de areia do universo. Se você fizesse isso e depois olhasse para um grão completo sob um microscópio, você o veria coberto por 10 bilhões de zeros microscópicos. Se você fizesse isso em cada grão de areia preenchendo o universo, teria escrito com sucesso o número googolplex.

Acredite ou não, nego sabe que os dez últimos dígitos do número de Graham são … 2464195387. Não precisa me agradecer. Eu sei que essa é uma informação fundamental pra sua vida, né? Tipo “Caetano Veloso estaciona no Leblon”.

Você, como eu, com nossa vida absolutamente medíocre, podemos pensar que esse numero maluco não serve para muita coisa, mas aí que as coisas ficam estranhas definitivamente, porquê, acredite se puder, o número de Graham está ligado ao seguinte problema no ramo da matemática conhecido como teoria de Ramsey:

Rapaz, eu acho até bonito quando a gente olha um monólito à nossa absoluta ignorância assim. Eu me sinto uma pedra. Uma guimba de cigarro cósmica dante de pessoas que leem essas quatro linhas e entendem o que está escrito, e pior, calculam essa merda usando um número que nem cabe no fucking universo.

Você é burro, mas não Graham & Rothschild, que no longínquo ano de 1971,  provaram que este problema tem uma solução. Anos depois ela seria encontrada. A resposta é:

11

12

Sério. Não tô te zoando. Geoff Exoo (2003), que mostrou que a solução deve ser pelo menos 11, era tão inteligente que ele ainda forneceu evidências experimentais sugerindo que a resposta pode ser pelo menos 12.

Assim, desde antes da Guerra do Vietnã até hoje, os malucos que se atracam com números que não cabem no universo chegaram a melhor estimativa explícita delimitadora conhecida para a solução de N* que agora é 11 ? N* ? N. Maneiro hein?

Enquanto isso,

O universo é definitivamente impressionante. 

Falando em números superlativos, não deixe de ver meu post que trata do outro lado, o número que significa o nada. Uma breve história do numero zero.

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